Он родился в Москве в семье музыкантов, учился живописи в Художественной школе А. П. Большакова, а в 1912 году окончил Московское театральное училище и был принят в труппу Большого театра. Выступал также на сцене Малого театра в драматических ролях.

В 1914 году в Москву приехал Сергей Дягилев в поисках свежих талантов. Он увидел молодого танцовщика и пригласил в свою труппу. Мясин согласился — всего на один сезон. Этот «сезон» растянулся на полтора десятилетия.

В 1913 году Дягилев уволил Вацлава Нижинского — и встал вопрос: кто заменит главную звезду? Выбор пал на 19-летнего Мясина. Дебют в труппе «Русский балет Дягилева» состоялся в 1914 году: он исполнил главную партию в балете «Легенда об Иосифе».

Дягилев отправил его к легендарному педагогу Энрико Чеккетти — и тот превратил московского юношу в виртуозного танцовщика. Мясин исполнил главные партии в балетах Фокина — Иосифа и Петрушку, а затем стал одним из основных хореографов «Русских сезонов».

Первая самостоятельная работа Мясина — балет «Полуночное солнце» на музыку Римского-Корсакова (1915, Женева). Вслед за ним появились «Женщины в хорошем настроении» на музыку Скарлатти (1917) и скандальный «Парад» (1917).

За «Парадом» последовали другие выдающиеся постановки: «Треуголка» на музыку де Фальи (1919), «Волшебная лавка» на музыку Россини (1919), «Пульчинелла» на музыку Стравинского (1920). В 1921 году Мясин ушёл от Дягилева и работал в США, Великобритании и Франции.

Но в 1925 году вернулся — и снова ставил для Дягилева, создав «Матросов» (1925) и «Оду» (1928). А в 1927 году Дягилев поручил ему создать балет о послереволюционной России — так появился «Стальной скок» на музыку Прокофьева. Название балета придумал сам Мясин.

Мясин выработал собственный танцевальный стиль: редкое использование «чистого» классического танца, сочетание его с характерным и бытовым, острота и гротескность движений. Он часто обращался к испанскому танцу и комедии дель арте, обогатил балетную драматургию и сделал танец более повествовательным.

После смерти Дягилева Мясин возглавил труппу «Русский балет Монте-Карло», где поставил свои знаменитые балеты-симфонии. Среди них — «Предзнаменования» на музыку Пятой симфонии Чайковского и «Прекрасный голубой Дунай» . Он также снимался в кино — в легендарных фильмах «Красные башмачки» (1948) и «Сказки Гофмана» (1951).

Всего Леонид Мясин создал более ста балетов.

Мясин был не только танцовщиком и хореографом, но и педагогом — и даже художником. Он обучался живописи ещё до того, как посвятил себя балету. Возможно, именно это помогло ему так тонко чувствовать визуальную сторону спектаклей и работать в тесном сотрудничестве с величайшими художниками своего времени — от Бакста до Пикассо.